题目内容

已知函数f(x)=
9x
9x+3
，则f(
1
7
)+f(
2
7
)+f(
3
7
)+f(
4
7
)+f(
5
7
)+f(
6
7
)的值是
3
3
．
分析：注意到自变量的值两两和为1，考虑f（x）+f（1-x）的值，可计算出值恒为1．利用加法结合律计算即可．
解答：解：f（x）+f（1-x）=
9x
9x+3
+
91-x
91-x+3
=
9x
9x+3
+
1
1+3•9x-1
=
9x
9x+3
+
3
3+9x
=1
∴原式=[f(
1
7
)+f(
6
7
)]+[f(
2
7
)+f(
5
7
)]+[f(
3
7
)+f(
4
7
)]=1+1+1=3
故答案为：3
点评：本题考查函数值的计算，挖掘f（x）+f（1-x）=1为常数是关键，要比逐项求值省时省力，考查了观察、分析解决问题、有理数指数幂的计算能力．
练习册系列答案
相关题目
已知函数f(x)=
1
3
x3-
a+1
2
x2+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（Ⅲ）当a＞0时，求函数f（x）的零点个数．
已知函数f(x)=(a-3b+9)ln(x+3)+
1
2
x2+(b-3)x．
（I）当0＜a＜1且，f′（1）=0时，求f（x）的单调区间；
（II）已知f′(3)≤
1
6
且对|x|≥2的实数x都有f'（x）≥0．若函数y=f′（x）有零点，求函数y=f（x）与函数y=f′（x）的图象在x∈（-3，2）内的交点坐标．
已知函数f(x)=
x-3，x≥9
f(x+4)，x＜9
则f（5）的值为（　　）
问题1：已知函数f(x)=
x
1+x
，则f(
1
10
)+f(
1
9
)+…+f(
1
2
)+f(1)+f(2)+…+f（9）+f（10）=
19
2
19
2
．
我们若把每一个函数值计算出，再求和，对函数值个数较少时是常用方法，但函数值个数较多时，运算就较繁锁．观察和式，我们发现f(
1
2
)+f(2)、…、f(
1
9
)+f(9)、f(
1
10
)+f(10)可一般表示为f(
1
x
)+f(x)=
1
x
1+
1
x
+
x
1+x
=
1
1+x
+
x
1+x
=
1+x
1+x
=1为定值，有此规律从而很方便求和，请求出上述结果，并用此方法求解下面问题：
问题2：已知函数f(x)=
1
2x+
2
，求f（-2007）+f（-2006）+…+f（-1）+f（0）+f（1）+…+f（2007）+f（2008）的值．
已知函数f(x)=
a2x+a2-22x-1
(x∈R，x≠0)，其中a为常数，且a＜0．
（1）若f（x）是奇函数，求a的取值集合A；
（2）当a=-1时，求f（x）的反函数；
（3）对于问题（1）中的A，当a∈{a|a＜0，a∉A}时，不等式x2-10x+9＜a（x-4）恒成立，求x的取值范围．

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