Question

已知函数f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x²+bx+a（a，b∈R），且其导函数f′（x）的图象过原点．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的图象在x=3处的切线方程；
（Ⅱ）若存在x＜0，使得f′（x）=-9，求a的最大值；
（Ⅲ）当a＞0时，求函数f（x）的零点个数．

Answer 1

分析：求出f′（x），把（0，0）代入f′（x）求得b的值，把b的值代入f′（x）
（Ⅰ）把a等于1代入到导函数中求出导函数，把x=3代入导函数中得f′（3）即为函数在x=3处切线方程的斜率，把x=3代入f（x）中求出切点坐标（3，f（3）），然后根据切点和斜率写出切线方程即可；
（Ⅱ）把求得导函数代入到f′（x）=-9中，解出-a-1，根据x小于0，利用基本不等式即可求出a的最大值；
（Ⅲ）当a大于0时，令导函数为0求出x的值，利用x的值，讨论导函数的正负得到函数的单调区间，根据函数的增减性得到函数的极大值和极小值，并根据a大于0判断极大值和极小值的正负及f（-2）和f（

3

2

（a+1））的正负，即可得到函数零点的个数．

解答：解：f(x)=

1

3

x3-

a+1

2

x2+bx+a，f'（x）=x²-（a+1）x+b
由f'（0）=0得b=0，f'（x）=x（x-a-1）．
（Ⅰ）当a=1时，f(x)=

1

3

x3-x2+1，f'（x）=x（x-2），f（3）=1，f'（3）=3
所以函数f（x）的图象在x=3处的切线方程为y-1=3（x-3），即3x-y-8=0；
（Ⅱ）存在x＜0，使得f'（x）=x（x-a-1）=-9，-a-1=-x-

9

x

=(-x)+(-

9

x

)≥2

(-x)•(- 9 x

)=6，a≤-7，
当且仅当x=-3时，a=-7，所以a的最大值为-7；
（Ⅲ）当a＞0时，x，f'（x），f（x）的变化情况如下表：

f（x）的极大值f（0）=a＞0，
f（x）的极小值f(a+1)=a-

1

6

(a+1)3=-

1

6

[a3+3(a-

1

2

)2+

1

4

]＜0
又f(-2)=-a-

14

3

＜0，f(x)=

1

3

x2[x-

3

2

(a+1)]+a，f(

3

2

(a+1))=a＞0．
所以函数f（x）在区间(-2，0)，(0，a+1)，(a+1，

3

2

(a+1))内各有一个零点，
故函数f（x）共有三个零点．

点评：此题考查学生会利用导数求曲线上过某点切线方程的斜率，会利用基本不等式求函数的最值，会利用导函数的正负研究函数的单调性并根据函数的增减性求出函数的极值，根据极值的正负判断函数零点的个数，是一道中档题．