题目内容

已知曲线C：xy=1，过C上一点An（x_n，y_n）作一斜率 $数学公式$ 的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1）．
（1）求x_n与x_n+1之间的关系式；
（2）若 $数学公式$ ，求证：数列 $数学公式$ 是等比数列；
（3）求证：（-1）x₁+（-1）²x₂+（-1）³x₃+…（-1）ⁿx_n＜1（n∈N^*）

（1）解：∵C上一点An（x_n，y_n）作一斜率 $\text{[math]}$ 的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1）．
∴k_n= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$
∴x_nx_n+1=x_n+2，即：x_n+1=1+ $\text{[math]}$ ．
（2）证明：设 $\text{[math]}$ ，由（1）得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =-2（ $\text{[math]}$ ）=-2a_n
∵ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ =-2，∴数列{ $\text{[math]}$ }是以2为首项，2为公比的等比数列；
（3）证明：由（2）得 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$
∴（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n= $\text{[math]}$ ＜ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$
当n为偶数时，则（-1）x₁+（-1）²x₂+…+（-1）ⁿx_n＜ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ =1- $\text{[math]}$ ＜1；
当n为奇数时，前n-1项为偶数项，
于是有：（-1）x₁+（-1）²x₂+…+（-1）ⁿx_n＜1+（-1）ⁿx_n，而 $\text{[math]}$
∴1+（-1）ⁿx_n=1-x_n＜1
∴（-1）x₁+（-1）²x₂+…+（-1）ⁿx_n＜1
综上所述，当n∈N^*时，（-1）x₁+（-1）²x₂+…+（-1）ⁿx_n＜1成立．
分析：（1）利用C上一点An（x_n，y_n）作一斜率 $\text{[math]}$ 的直线交曲线C于另一点A_n+1（x_n+1，y_n+1），求出斜率，即可得到x_n与x_n+1之间的关系式；
（2）设 $\text{[math]}$ ，由（1）得 $\text{[math]}$ =-2a_n，从而可得数列{ $\text{[math]}$ }是等比数列；
（3）先确定 $\text{[math]}$ ，证明（-1）^n-1x_n-1+（-1）ⁿx_n＜ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ，再分类讨论，即可证得结论．
点评：本题考查了数列的递推式，考查等比数列的证明，考查证明不等式，考查了学生推理能力和基本的运算能力．