Question

15．若函数f（x）=2x²+3x-4，当x∈[t-2，t+2]时，求f（x）的值域．

Answer 1

分析 利用函数的对称轴，结合区间，即可求f（x）的值域．

解答 解：t+2＜-$\frac{3}{4}$，即t＜-$\frac{11}{4}$时，x∈[t-2，t+2]，函数单调递减，f（x）_min=f（t+2）=2t²+11t+10，f（x）_max=f（t-2）=2t²-5t-2，f（x）的值域为[2t²-5t-2，2t²+11t+10]．
-$\frac{11}{4}$≤t＜-$\frac{3}{4}$，f（x）_min=f（-$\frac{3}{4}$）=-$\frac{41}{8}$，f（x）_max=f（t-2）=2t²-5t-2，f（x）的值域为[-$\frac{41}{8}$，2t²-5t-2]．
-$\frac{3}{4}$≤t≤$\frac{5}{4}$，f（x）_min=f（-$\frac{3}{4}$）=-$\frac{41}{8}$，f（x）_max=f（t+2）=2t²+11t+10，f（x）的值域为[-$\frac{41}{8}$，2t²+11t+10]．
t＞$\frac{5}{4}$，f（x）_min=f（t-2）=2t²-5t-2，f（x）_max=f（t+2）=2t²+11t+10，f（x）的值域为[2t²-5t-2，2t²+11t+10]．

点评 本题考查求f（x）的值域，考查分类讨论的数学思想，正确分类讨论是关键．