Question

17．设一直线上三点A，B，P满足$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$（λ≠-1），O是平面内任意一点，则用$\overrightarrow{OA}$，$\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OP}$式子为（　　）

• A． $\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+λ$\overrightarrow{OB}$
• B． $\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+（1-λ）$\overrightarrow{OB}$
• C． $\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{λ}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{1+λ}$$\overrightarrow{OB}$
• D． $\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{1+λ}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{OB}$

Answer 1

分析 先根据$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$得出$\overrightarrow{AP}$=$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$，再根据向量加法的三角形法则，$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$，化简即可得出结果．

解答 解：在$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{PB}$两边加上λ$\overrightarrow{AP}$得，
$\overrightarrow{AP}$+λ$\overrightarrow{AP}$=λ（$\overrightarrow{AP}$+$\overrightarrow{PB}$）=λ$\overrightarrow{AB}$，
即（1+λ）$\overrightarrow{AP}$=λ$\overrightarrow{AB}$，故$\overrightarrow{AP}$=$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$，
再根据向量加法的三角形法则，
$\overrightarrow{OP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{AB}$
=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{λ}{1+λ}$（$\overrightarrow{OB}$-$\overrightarrow{OA}$）
=$\frac{1}{1+λ}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{OB}$，
即$\overrightarrow{OP}$=$\frac{1}{1+λ}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{λ}{1+λ}$$\overrightarrow{OB}$，
故选：D．

点评 本题主要考查了平面向量的线性运算，涉及加法的三角形法则，属于中档题．