Question

已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)，(A＞0，ω＞0，|φ|＜

π

2

)的图象，它与y轴的交点为（0，

3

2

），它在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，3），（x₀+2π，-3）．
（1）求函数y=f（x）的解析式；
（2）求这个函数的单调递增区间和对称中心．
（3）该函数的图象可由y=sinx（x∈R）的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？

Answer 1

分析：（1）通过函数的最大值点求出A，最大值与最小值的横坐标求出函数的周期，然后求出ω，利用函数经过（0，

3

2

），以及φ的范围，求出φ，然后得到函数y=f（x）的解析式；
（2）通过（1）的函数的解析式，利用正弦函数的单调增区间好对称中心，直接求这个函数的单调递增区间和对称中心．
（3）通过左加右减的原则，可由y=sinx（x∈R）的图象经过向左平移和纵坐标伸长伸的变换得到函数的解析式．

解答：解：（1）由题意可得A=3，由在y轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为（x₀，3），（x₀+2π，-3）得

T

2

=x0+2π-x0=2π，
∴T=4π从而ω=

1

2

又图象与y轴交于点(0，

3

2

)，
∴

3

2

=3sinφ⇒sinφ=

1

2

由于|φ|＜

π

2

)，
∴φ=

π

6

函数的解析式为f(x)=3sin(

1

2

x+

π

6

)
（2）因为

1

2

x+

π

6

∈[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，k∈Z，所以x∈[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，(k∈Z)，
函数的单调递增区间：[4kπ-

4π

3

，4kπ+

2π

3

]，(k∈Z)；
因为

1

2

x+

π

6

=kπ   k∈Z，解得x=-

π

3

+2kπ，(k∈Z)，所以函数的对称中心：(

π

3

+2kπ，0)(k∈Z)
（3）将函数y=sinx的图象向左平移

π

6

个单位，再将所得函数的图象纵坐标不变，横坐标伸长为原来的两倍，最后将所得函数的图象横坐标不变，纵坐标伸长为原来的3倍得到函数y=3sin(

1

2

x+

π

6

)的图象．

点评：本题是中档题，考查三角函数的解析式的求法，注意A，ω，φ的求法，函数的单调增区间的求法，考查计算能力，注意平移时x的系数，避免错误．