Question

a

=（1，1），

b

=（1，0），

c

满足

a

•

c

=0，且|

a

|=|

c

|，

b

•

c

＞0
（I）求向量

c

；
（II）若映射f：(x，y)→(x′，y′)=x

a

+y

c

①求映射f下（1，2）原象；
②若将（x、y）作点的坐标，问是否存在直线l使得直线l上任一点在映射f的作用下，仍在直线上，若存在求出l的方程，若不存在说明理由．

Answer 1

分析：（I）设

c

=(x，y)，由已知得到关于x、y的方程组，求出x、y，即求得向量

c

；
（II）根据映射f：(x，y)→(x′，y′)=x

a

+y

c

，①求映射f下（1，2）原象，列出方程，解方程即可；②存在性命题的探讨，转化为（1+k）y=（1-k）x-b与y=kx+b表示同一直线，对应系数相等，求得直线方程．

解答：解：（I）设

c

=(x，y)，则

x+y=0 x2+y2=2 x＞0

∴

x=1 y=-1

∴

c

=（1，-1）

（II）①x（1，1）+y（1，-1）=（1，2）
∴

x= 3 2 y=- 1 2

∴原象是(

3

2

，-

1

2

)
②假设l存在，设其方程为y=kx+b（k≠0），
∴x

a

+y

b

=（x+y，x-y）
点（x+y，x-y）在直线上
∴x-y=k（x+y）+b
即（1+k）y=（1-k）x-b与y=kx+b表示同一直线，
必有-b=b，

1-k

1+k

=k，
解可得b=0，k=-1±

2

，
∴直线?存在其方程为y=(-1±

2

)x．

点评：考查平面向量的坐标运算和数量积，属基础题，对映射的定义，增加了试题新颖和综合，体现了转化和方程的思想方法，很好．