题目内容

已知x=1是函数 $数学公式$ 的一个极值点．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若曲线y=f（x）与直线y=2x+m有三个交点，求实数m的取值范围．

解：（I）f′（x）=ax²-3x²+a+1
由f′（1）=0得：a-3+a+1=0
即a=1
∴ $\text{[math]}$
（II）曲线y=f（x）与直线y=2x+m有三个交点
即 $\text{[math]}$ -2x-m=0有三个根
即g（x）= $\text{[math]}$ 有三个零点
由g′（x）=x²-3x=0，得x=0或x=3
由g′（x）＞0得x＜0或x＞3，由g′（x）＜0得0＜x＜3
∴函数g（x）在（-∞，0）上为增函数，在（0，3）上为减函数，在（3，+∞）上为增函数
要使g（x）有三个零点，
只需 $\text{[math]}$ 即 $\text{[math]}$
解得： $\text{[math]}$ ＜m＜5
分析：（I）利用三次函数在极值点处的导数为零，即可解得a的值，进而确定函数的解析式；
（II）将两曲线有三个交点问题，转化为函数g（x）=f（x）-（2x+m）有三个零点问题，利用导数研究函数g（x）的单调性和极值，找到问题的充要条件，列不等式即可解得m的范围
点评：本题主要考查了导数在函数极值、单调性中的应用，三次函数的图象和性质，构造函数研究函数零点分布问题，转化化归的思想方法

练习册系列答案

1加1阅读好卷系列答案

专项复习训练系列答案

初中语文教与学阅读系列答案

阅读快车系列答案

完形填空与阅读理解周秘计划系列答案

英语阅读理解150篇系列答案

奔腾英语系列答案

标准阅读系列答案

53English系列答案

考纲强化阅读系列答案

相关题目

下列命题中，正确命题的序号为

．①命题p：?x∈R，x²+2x+3＜0，则?p：?x∈R，x²+2x+3＞0；
②使不等式（2-|x|）（3+x）＞0成立的一个必要不充分条件是x＜4；③已知曲线y=

-3lnx的一条切线的斜率为

的充要条件是切点的横坐标为3；④函数y=f（x-1）与函数y=f（1-x）的图象关于直线x=1对称．

（2009•宜春一模）已知x=1是f（x）=2x-

+lnx的一个极值点
（1）求b的值；
（2）求函数f（x）的单调增区间；
（3）设g（x）=f（x）-

，试问过点（2，5）可作多少条直线与曲线y=g（x）相切？请说明理由．

（2012•东城区一模）已知x=1是函数f（x）=（ax-2）e^x的一个极值点．（a∈R）
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）当x₁，x₂∈[0，2]时，证明：f（x₁）-f（x₂）≤e．

（2012•顺义区一模）已知函数f（x）=x-lnx，g（x）=x+

，（其中a＞0）．
（Ⅰ）求曲线y=f（x）在（1，f（1））处的切线方程；
（Ⅱ）若x=1是函数h（x）=f（x）+g（x）的极值点，求实数a的值；
（Ⅲ）若对任意的x₁，x₂∈[1，e]，（e为自然对数的底数，e≈2.718）都有f（x₁）≤g（x₂），求实数a的取值范围．

（08年崇文区统一练习一）（14分）

已知定义在R上的函数，其中a为常数.

（I）若x=1是函数的一个极值点，求a的值；

（II）若函数在区间（－1，0）上是增函数，求a的取值范围；

（III）若函数，在x=0处取得最大值，求正数a的取值范围.