题目内容
已知直线a与平面α不垂直，求证：经过直线a有且只有一个平面β垂直于平面α.
答案：
解析：
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解：这里既要证明垂面的存在性，还要证明唯一性. （1）存在性：在直线a上任取一点A，过A作AB⊥平面α，垂足为B，则直线a和AB确定一个平面β，显然有平面α⊥平面β. （2）唯一性：设经过a且与平面α垂直的平面还有一个平面γ，这样，平面β和γ同时垂直于平面α，且β和γ交线为a；在直线a上任取一点A，过A作AB⊥平面α，垂足为B，则AB在平面β内，也在平面γ内，因此，AB也是平面β和γ的交线，于是，直线AB与直线a重合，则有a⊥平面α，这与已知矛盾.
∴平面γ是不存在的. ∴经过直线a有且只有一个平面β垂直于平面α.
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