题目内容

设函数f（x）=（x+a）n，其中n=3sin（π+x）dx，，则f（x）的展开式中x2的系数为（ ）
A．-240
B．60
C．60
D．240
【答案】分析：利用定积分求得n的值，依据 =-3，求得a的值，在二项式的通项公式中，令x的幂指数等于2，求得r的值，即可求得展开式中x2的系数．
解答：解：∵n=3sin（π+x）dx=3[-cos（x+π）]=6，所以，f（x）=（x+a）6，
所以，f′（x）=6（x+a）5，f′（0）=6a5，f（0）=a6．
因为 =-3，所以，=-3，a=-2．
由通项公式Tr+1=•x6-r•（-2）r，令6-r=2，解得r=4，
f（x）的展开式中x2的系数为•（-2）4=240，
故选D．
点评：本题主要考查求定积分的值，求函数的导数，二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，
属于中档题．
练习册系列答案
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设函数f（x）=a2x2（a＞0），g（x）=blnx．
（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
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3
4
) ＜f(
15
2
)；
②当x∈[-1，0]时f（x）=x3+4x+3；
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其中真命题的个数为（　　）
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（1）若函数y=f（x）图象上的点到直线x-y-3=0距离的最小值为2
2
，求a的值；
（2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围；
（3）对于函数f（x）与g（x）定义域上的任意实数x，若存在常数k，m，使得f（x）≥kx+m和g（x）≤kx+m都成立，则称直线y=kx+m为函数f（x）与g（x）的“分界线”．设a=
2
2
，b=e，试探究f（x）与g（x）是否存在“分界线”？若存在，求出“分界线”的方程；若不存在，请说明理由．
设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的极值；
（2）设0＜a≤1，记f（x）在（0，a]上的最大值为F（a），求函数的最小值；
（3）设函数g（x）=lnx-2x2+4x+t（t为常数），若使g（x）≤x+m≤f（x）在（0，+∞）上恒成立的实数m有且只有一个，求实数m和t的值．
设函数f（x）=x（x-1）2，x＞0．
（1）求f（x）的极值；
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