Question

【题目】设函数f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的图象关于直线x=对称，它的周期是π，则以下结论正确的个数（　　）
（1）f（x）的图象过点（0，）
（2）f（x）的一个对称中心是（,0）
（3）f（x）在[,]上是减函数
（4）将f（x）的图象向右平移|φ|个单位得到函数y=3sinωx的图象．
A.4
B.3
C.2
D.1

Answer 1

【答案】C
【解析】解：∵f（x）=3sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣＜φ＜）的周期是π，
∴ω=2，
又图象关于直线x=对称，则2×+φ=kπ+ ， 即φ= ， k∈Z．
∵﹣＜φ＜ ，
∴取k=1得φ= ．
∴f（x）=3sin（2x+）．
①∵f（0）=3sin= ．
∴f（x）的图象过点（0，）错误；
②∵f（）=3sin（2×+）=3sinπ=0．
∴f（x）的一个对称中心是（,0）正确；
③由，得：
．
取k=0，得
∴f（x）在[,]上是减函数正确；
④∵φ=＞0，
∴f（x）=3sin（ωx+φ）=3sinω（x+）是把y=3sinωx
向左平移个单位得到，
则f（x）的图象向右平移个单位得到函数y=3sinωx的图象．
∴命题④错误．
【考点精析】利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换对题目进行判断即可得到答案，需要熟知图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．