Question

已知函数和．其中．

   （Ⅰ）若函数与的图像的一个公共点恰好在x轴上，求的值；

   （Ⅱ）若函数与图像相交于不同的两点A、B，O为坐标原点，试问：△OAB的面积S有没有最值？如果有，求出最值及所对应的的值；如果没有，请说明理由．

   （Ⅲ）若和是方程的两根，且满足，证明：当时，．

Answer 1

解：（Ⅰ）设函数图像与x轴的交点坐标为（，0），

又∵点（，0）也在函数的图像上，∴．

而，∴．

   （Ⅱ）依题意，，即，

       整理，得  ，①

       ∵，函数与图像相交于不同的两点A、B，

       ∴，即△==＝(3－1)(－－1)>0.

       ∴－1<<且.

       设A(，)，B(，)，且<，由①得，=1>0, .

       设点o到直线的距离为d，

       则，.

       ∴＝

       =.

       ∵－1<<且,∴当时，有最大值，无最小值.

   （Ⅲ）由题意可知．

       ,∴,∴当时，

       即．

       又,

       ∴<0, ∴,

       综上可知，．