Question

15．求函数y=$\frac{sin2xsinx}{1-cosx}$的值域．

Answer 1

分析 根据正弦函数的二倍角公式及sin²x+cos²x=1即可将原函数化简得到y=2cos²x+2cosx，可考虑进行配方便得到y=$2（cosx+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}$，根据-1≤cosx＜1即可求出原函数的值域．

解答 解：$y=\frac{2si{n}^{2}xcosx}{1-cosx}=\frac{2（1-co{s}^{2}x）cosx}{1-cosx}$=2（1+cosx）cosx=2cos²x+2cosx=$2（cosx+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}$；
∵-1≤cosx＜1；
∴$cosx=-\frac{1}{2}$时，原函数取最小值为$-\frac{1}{2}$；
且y$＜2（1+\frac{1}{2}）^{2}-\frac{1}{2}=4$；
∴原函数的值域为$[-\frac{1}{2}，4）$．

点评 考查二倍角的正弦公式，sin²x+cos²x=1，平方差公式，以及配方解决问题的方法，注意cosx的范围．