Question

已知函数f（x）=+lnx（a≠0）．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）当a=1时，求f（x）在[，2]上的最大值和最小值；
（3）求证：lnn＞+++…+（n∈N﹡，且n≥2）．

Answer 1

【答案】分析：（1）先求出导函数，利用f'（x）＞0求单调递增区间，f'（x）＜0求单调递减区间．
（2）当a=1时，利用（1）的结论，可知f（x）在[，1）上单调递增，在（1，2）上单调递减，最值可求．
（3）当a=1时，由（1）知f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以x＞1时f（x）＞f（1）=0，即lnx＞1-，采用累积的方法证明．
解答：解（1）f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=-=
当a＜0，则f'（x）＞0恒成立，f（x）在（0，+∞）上单调递增
当0＜a时，解f'（x）＞0，得x＞，
解f'（x）＞0，得0＜x＜，
所以当a＜0时，f（x）的单调递增区间为（0，+∞），
当0＜a时，f（x）的单调递增区间为（0，），单调递减区间为（，+∞）
（2）当a=1时，f′（x）=，由（1）知f（x）在[，1）上单调递增
，在（1，2）上单调递减，所以f（x）min=f（1）=0
又f（）=1-ln2，f（2）=-+ln2，f（）＞f（2），所以f（x）max=f（）=1-ln2，
综上所述，f（x）在[，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0．
（3）当a=1时，由（1）知f（x）在（1，+∞）上单调递增，
所以x＞1时f（x）＞f（1）=0，即lnx＞1-
所以n≥2时，，
∴，，…，
以上各式相加可得…＞+
即＞+
即lnn＞+++…+（n∈N﹡，且n≥2）．
所以原不等式成立．
点评：本题考查导数在函数中的应用问题，函数的定义域思想，导数的计算．考查导数与函数单调性的关系，函数的最值与导数的关系，体现了等价转化的数学思想和分类讨论的思想，同时考查了学生的计算能力．