Question

函数f(x)=

ax2+bx

(b＞0)的定义域和值域相等，则实数a=

-4或0

．

Answer 1

分析：根据函数的定义域与值域相同，故可以求出参数表示的函数的定义域与值域，由两者相同，故比较二区间的端点得出参数满足的方程解方程求参数即可．

解答：解：若a＞0，对于正数b，f（x）的定义域为
D=(-∞，-

b

a

]∪[0，+∞)，
但f（x）的值域A⊆[0，+∞），故D≠A，不合要求．
若a＜0，对于正数b，f（x）的定义域为 D=[0，-

b

a

]．
由于此时 [f(x)]max=f(-

b

2a

)=

b

2 -a

，
故函数的值域 A=[0，

b

2 -a

]．
由题意，有 -

b

a

=

b

2 -a

，由于b＞0，所以a=-4．
若a=0，则对于每个正数b，f(x)=

bx

的定义域和值域都是[0，+∞）
故a=0满足条件．
故答案为：-4或0．

点评：本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，函数的值域，二次函数的图象和性质，其中熟练掌握一次函数和二次函数的图象和性质是解答本题的关键．