Question

选修4－5：不等式选讲

已知|x-4|+|3-x|<a

   （1）若不等式的解集为空集，求a的范围

   （2）若不等式有解，求a的范围

 

 

Answer 1

【答案】

（1）a ≤ 1 

（2）当1＜a时,|x-4|+|3-x|<a有解

【解析】解法一：（1）<1>  x≥4 时     （x-4）+（x-3） < a       

f（x）=2x-7 在 x≥4上单调递增      x=4时取最小值1。

若要求不等式无解，则 a 小于或等于该最小值即可。即 a ≤ 1      ……2分

<2.>   4>x>3时        （4-x） + （x-3） < a     1 < a  

若要求不等式无解，则 a ≤ 1。否则不等式的解集为全集。…………………4分

<3>x ≤ 3 时     （4-x）+（3-x） < a   

 7-2x < a  在x ≤ 3区间，不等式左端的函数单调递减。在 x=3 时取最小值 1。

若要求不等式无解，则 a ≤ 1 综合以上 a ≤ 1  ………………………………6分

（2）若不等式有解，则 a的范围为原范围的补集。即 a > 1  ……………10分

另解：<1>:x≥4时:|x-4|+|3-x|=x-4+x-3=2x-7,因为x≥4,所以2x-7≥1

<2>:  3≤x＜4时:|x-4|+|3-x|=4-x+x-3=1

<3>:x＜3时:|x-4|+|3-x|=4-x+3-x=7-2x,因为x＜3,所以-x＞-3,所以7-2x＞1

可见|x-4|+|3-x|最小值为1,要使|x-4|+|3-x|<a是空集,

只需a小于等于|x-4|+|3-x|的最小值,所以a≤1

所以有解时是a>1

解法二: 设y=|x-4|+|x-3|，（|x-3|=|3-x|）

等价于:

其图象为:

     

由图象知: 当a≤1时,|x-4|+|3-x|<a无解      

当1＜a时,|x-4|+|3-x|<a有解