Question

【题目】数列是等比数列，公比大于0，前项和，是等差数列，已知，，，．

（Ⅰ）求数列，的通项公式，；

（Ⅱ）设的前项和为

（ⅰ）求；

（ⅱ）若，记，求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；；（Ⅱ）（i）；（ii），．

【解析】

（Ⅰ）由等比数列的定义求得公比，得通项公式，再由等差数列的定义求得和，得；

（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列前项和公式求得，由分组求和法求得，（ⅱ）求得后，用裂项相消法求得，结合函数性质可得取值范围．

解：（Ⅰ）设数列的公比为，因为，，可得，整理得，

解得（舍或 ，所以数列通项公式为．

设数列的公差为，因为，，即，解得，，

所以数列的通项公式为；

（Ⅱ）（ⅰ）由等比数列的前项和公式可得，

所以；

（ⅱ）由（ⅰ）可得，

所以的前项和．

又在上是递增的，．

所以的取值范围为，．