Question

已知函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为．
（Ⅰ）求a的值；
（ II）设函数问：函数y=g（x）是否存在最小值点x₀？若存在，求出满足x₀＜m的整数m的最小值；若不存在，说明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）=-a，
由题意得f′（1）=，解得a=2；
（II）由（Ⅰ）知，
则=，
则=，
令h（x）=2x²-7x+2-2lnx，则，
故h（x）在（2，+∞）上为增函数，
又 h（2）=-4-2ln2＜0，h（3）=-1-2ln3＜0，h（4）=6-2ln4＞0，
因此最小值点x₀为h（x）的零点，所以3＜x₀＜4，而x₀＜m，m是整数，
故整数m的最小值为4．
分析：（Ⅰ）求导数f′（x），由题意知f′（1）=，解出即得a值；
（ II）由（Ⅰ）写出g（x），然后求出g′（x）=，令h（x）=2x²-7x+2-2lnx，利用导数可判断h（x）的单调性，由单调性及零点存在定理可得h（x）零点范围，而该零点即最小值点x₀，由x₀＜m及m是整数可得m的最小值；
点评：本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程、函数的最值，构造函数h（x）是解决（II）的关键，导数是研究函数的有力工具，本题得到了充分发挥．