Question

16．已知函数f（x）=-x³+3x²+9x+a．
（1）求f（x）的单调递减区间；
（2）若f（x）≥2015对于?x∈[-2，2]恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的递减区间；
（2）问题转化为a≥x³-3x²-9x+2015对于?x∈[-2，2]恒成立，设g（x）=x³-3x²-9x+2015，x∈[-2，2]，通过求导得到g（x）的最大值，从而求出a的范围即可．

解答 解：（1）f′（x）=-3x²+6x+9=-3（x²-2x-3）=-3（x-3）（x+1），
令f′（x）＜0，解得：x＞3或x＜-1，
∴f（x）在（-∞，-1），（3，+∞）递减；
（2）f（x）≥2015对于?x∈[-2，2]恒成立
?a≥x³-3x²-9x+2015对于?x∈[-2，2]恒成立，
设g（x）=x³-3x²-9x+2015，x∈[-2，2]，
则g′（x）=3（x-3）（x+1），
令g′（x）＞0，解得：x＜-1，
令g′（x）＜0，解得：x＞-1，
∴g（x）在[-2，-1）递增，在（-1，2]递减，
∴g（x）_最大值=g（-1）=2020，
∴a≥2020．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．