Question

如图所示的多面体是由底面为ABCD的长方体被截面AEC₁F所截面而得到的,其中AB=4,BC=2,CC₁=3,BE=1.

I

(1)求BF的长;

(2)求点C到平面AEC₁F的距离.

Answer 1

解法1：（1）过E作EH∥BC交CC₁于H，

则CH=BE=1，EH∥AD，

且EH=AD.

又∵AF∥EC₁，∴∠FAD=∠C₁EH.

∴Rt△ADF≌Rt△EHC₁

∴DF=C₁H=2.

∴BF=.

（2）延长C₁E与CB交于G，连AG，

则平面AEC₁F与平面ABCD相交于AG.

过C作CM⊥AG，垂足为M，连C₁M，

由三垂线定理可知AG⊥C₁M.由于AG⊥面C₁MC，且AG面AEC₁F，

所以平面AEC₁F⊥面C₁MC.在Rt△C₁CM中，作CQ⊥MC₁，垂足为Q，

则CQ的长即为C到平面AEC₁F的距离.

由可得，BG=1，从而AG=.

由∠GAB=∠MCG知，

CM=3cos∠MCG=3cos∠GAB=3×,

∴CQ=.

解法2：（1）建立如图所示的空间直角坐标系，则D（0，0，0），B（2，4，0），A（2，0，0），C（0，4，0），E（2，4，1），C₁（0，4，3）.设F（0，0，z）.?

∵AEC₁F为平行四边形，

∴由得，（-2，0，z）=(-2,0,2),

∴z=2.∴F(0,0,2).

∴=(-2,-4,2).

于是，即BF的长为.

（2）设n₁为平面AEC₁F的法向量，

显然n₁不垂直于平面ADF，故可设n₁=（x,y,1）,

由得即∴

又=（0,0,3）,设与n₁的夹角为α，则

cosα＝.

∴C到平面AEC₁F的距离为d=·cosα=.