Question

7．已知数列{a_n} 中．a₁=2，且a_n=2a_n-1-n+2（n≥2，n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃并证明{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）设b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）在已知的数列递推式中分别取n=2，3，结合已知的首项即可求得a₂，a₃的值，再把递推式两边同时减n即可证明{a_n-n}是等比数列；
（Ⅱ）由{a_n-n}是等比数列求出数列{a_n}的通项公式，代入b_n=$\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}$，分组后利用错位相减法求数列{b_n}的前n项和S_n．

解答 解：（Ⅰ）由a_n=2a_n-1-n+2（n≥2，n∈N^*），且a₁=2，得
a₂=2a₁-2+2=4，a₃=2a₂-3+2=2×4-3+2=7．
再由a_n=2a_n-1-n+2，得a_n-n=2a_n-1-2n+2，即a_n-n=2[a_n-1-（n-1）]，
∵$\frac{{a}_{n}-n}{{a}_{n-1}-（n-1）}=2$（n≥2，n∈N^*），
∴{a_n-n}是以2为公比的等比数列．
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，${a}_{n}-n=（{a}_{1}-1）•{2}^{n-1}$，即${a}_{n}={2}^{n-1}+n$，
∴${b}_{n}=\frac{{a}_{n}}{{2}^{n-1}}=1+\frac{n}{{2}^{n-1}}$，
设${c}_{n}=\frac{n}{{2}^{n-1}}$，且其前n项和为T_n，
∴$Tn=\frac{1}{{2}^{0}}$$+\frac{2}{{2}^{1}}+\frac{3}{{2}^{2}}+…+\frac{n}{{2}^{n-1}}$①
$\frac{1}{2}{T}_{n}=\frac{1}{{2}^{1}}+\frac{2}{{2}^{2}}+\frac{3}{{2}^{3}}…+\frac{n}{{2}^{n}}$②
①-②得：$\frac{1}{2}{T}_{n}=1+（\frac{1}{2}-\frac{1}{{2}^{2}}+\frac{1}{{2}^{3}}+…+\frac{1}{{2}^{n-1}}）-\frac{n}{{2}^{n}}$
=$\frac{1-\frac{1}{{2}^{n}}}{1-\frac{1}{2}}-\frac{n}{{2}^{n}}=2-\frac{2+n}{{2}^{n}}$．
∴${T}_{n}=4-\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$，
则${S}_{n}=n+4-\frac{2+n}{{2}^{n-1}}$．

点评 本题考查了数列递推式，考查了等比关系的确定，训练了错位相减法求数列的和，是中档题．