题目内容

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知b=1，且 $数学公式$ ．
（I）求角B的值；
（II）求 $数学公式$ 的取值范围．

解：（I）由 $\text{[math]}$ 利用余弦定理可得 cosB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵0＜B＜π，∴B= $\text{[math]}$ ．
（II）由正弦定理可得，三角形外接圆的直径2r= $\text{[math]}$ =2，
∴ $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ sinC-4sinA=2 $\text{[math]}$ sin（ $\text{[math]}$ -A）-4sinA=2 $\text{[math]}$ （ $\text{[math]}$ cosA+ $\text{[math]}$ sinA）-4sinA
= $\text{[math]}$ cosA-sinA=2cos（A+ $\text{[math]}$ ）．
∵0＜A＜ $\text{[math]}$ ，∴ $\text{[math]}$ ＜A+ $\text{[math]}$ ＜π，
∴-1＜cos（A+ $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ ，
∴-2＜2cos（A+ $\text{[math]}$ ）＜ $\text{[math]}$ ，
故 $\text{[math]}$ 的取值范围为（-2， $\text{[math]}$ ）．
分析：（I）由 $\text{[math]}$ 利用余弦定理可得 cosB 的值，从而求得B的值．
（II）由正弦定理可得，三角形外接圆的直径2r= $\text{[math]}$ =2，由此求得 $\text{[math]}$ =2 $\text{[math]}$ sinC-4sinA，再利用两角和的正弦、余弦公式化简为 2cos（A+ $\text{[math]}$ ），根据 A+ $\text{[math]}$ 的范围
求出2cos（A+ $\text{[math]}$ ）的范围，从而得到 $\text{[math]}$ 的取值范围．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用，两角和的正弦、余弦公式，求三角函数的最值，属于中档题．