Question

【题目】（2015秋运城期中）已知函数f（x）=（log2x﹣2）（log4x﹣）．

（1）当x∈[1，4]时，求该函数的值域；

（2）若f（x）≤mlog2x对于x∈[4，16]恒成立，求m得取值范围．

Answer 1

【答案】（1）[﹣，1]；（2）m≥．

【解析】

试题（1）利用换元法令t=log2x，t∈[0，2]，得f（t）=（t﹣2）（t﹣），利用二次函数性质可得f（0）≥f（t）≥f（），

进而求出值域；

（2）由（1）可整理不等式为t+﹣3≤2m恒成立，只需求出左式的最大值即可，利用构造函数g（t）=t+，知在（，+∞）上递增，求出最大值．

解：令t=log2x，t∈[0，2]，

∴f（t）=（t﹣2）（t﹣）

=（t﹣2）（t﹣1），

∴f（0）≥f（t）≥f（），

∴﹣≤f（t）≤1，

故该函数的值域为[﹣，1]；

（2）x∈[4，16]，

∴t∈[2，4]，

∴（t﹣2）（t﹣1）≤mt，

∴t+﹣3≤2m恒成立，

令g（t）=t+，知在（，+∞）上递增，

∴g（t）≤g（4）=，

∴﹣3≤2m，

∴m≥．