Question

如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上．
（Ⅰ）求证：AE⊥BE；
（Ⅱ）求三棱锥D-AEC的体积．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由题意证明BC⊥平面ABE，得AE⊥BC，再结合条件证明AE⊥平面BCE，再证出AE⊥BE；
（Ⅱ）利用题意得到平面ACD⊥平面ABE，作出交线的垂线，利用换低求三棱锥体积．

解答：（Ⅰ）证明：由题意知，AD⊥平面ABE，且AD∥BC
∴BC⊥平面ABE，∵AE?平面ABE
∴AE⊥BC，
∵BF⊥平面ACE，且AE?平面ABE
∴BF⊥AE，又BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，
又∵BE?平面BCE，
∴AE⊥BE．

（Ⅱ）在△ABE中，过点E作EH⊥AB于点H，
∵AD⊥平面ABE，且AD?平面ACD，
∴平面ACD⊥平面ABE，∴EH⊥平面ACD．
由已知及（Ⅰ）得EH=

1

2

AB=

2

，S_△ADC=2

2

．
故V_D-ABC=V_E-ADC=

1

3

×2

2

×

2

=

4

3

．

点评：本题主要考查垂直关系，利用线面垂直的定义和判定定理，进行线线垂直与线面垂直
的转化；求三棱锥体积常用的方法：换底法．