Question

（本小题共12分）设x=3是函数f (x) = (x²+ax+b)·e^3-x (x∈R)的一个极值点。
⑴求a与b的关系式，(用a表示b)，并求f(x)的单调区间。
⑵设a>0， ，若存在ε₁，ε₂∈[0，4]，使｜f (ε₁)-g (ε₂)｜<1成立，求a的取值范围。

Answer 1

（1）略
（2）a的取值范围是。 

解：⑴                       （2分）

＝
令
由于x＝3是极值点，所以3+a+1≠0，那么a≠－4。
当a<－4时，x₂>3＝x₁，则在区间（－∞，3）上，，f(x)为减函数；
在区间（3，－a－1）上f (x)为增函数。
在区间（－a－1，+∞）上f (x)为减函数。              （4分）
当a>－4时，x₂<3＝x₁，则在区间（－∞，－a－1）上f(x)为减函数；
在区间（－a－1，3）上，为增函数；
在区间（3，+∞）上， f(x)为减函数。                （6分）
⑵由①知，当a>0时，f(x)在区间（0，3）上的单调递增，在区间（3，4）上单调递减，
那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[min (f (0)，f (4))，f (3)]，
而f (0)＝－（2a+3）e³<0，f (4)＝（2a+13）e^-1>0，f（3）＝a+6，  
那么f(x)在区间[0，4]上的值域是[－（2a+3）e³，a+6]，           （8分）
又g (x)＝在区间[0，4]上是增函数，
且它在区间[0，4]上的值域是            （10分）
由于
所以只需        
故a的取值范围是。                                （12分）