Question

已知双曲线C的对称轴是坐标轴，一条渐近线的方程是，且该双曲线C经过定点M（3,2）

（1）求双曲线C的方程；

（2）直线l：ax－y－1=0与双曲线C交于P、Q两点，当实数a为何值时，|PQ|=2?

Answer 1

解：（1）设所求双曲线C的方程为，将点M的坐标（3,2）代入得＝1,

所以双曲线C的方程是   

（2）设P(x₁,y₁)，Q(x₂,y₂)，由,

得  (1－2a²)x²+4ax－3=0．

若1－2a²=0,即a=±时，l与C的渐近线平行，l与C只有一个交点，与题意不合，

∴1－2a²≠0,Δ=(4a)²－4(1－2a²)(－3)＞0,

∴－＜a＜．                

  (*)

∴｜PQ｜=｜x₁－x₂｜=2．

∴(x₁－x₂)²=4,∴(x₁+x₂)²－4x₁x₂=4．

∴(－)²－4=4．

∴a=±1∈(－,)．

∴所求的实数a的值为a=±1．