Question

设圆满足:(1)y轴截圆所得弦长为2,(2)被x轴分成两段弧，其弧长之比为3∶1，在满足(1)、(2)的所有圆中，求圆心到直线l:x－2y=0的距离最小的圆的方程.

Answer 1

解:设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则P到x轴，y轴的距离分别为|b|、|a|，由题设

知圆P截x轴所得劣弧所对圆心角为90°，故圆P截x轴所得弦长为r=2b.

∴r²=2b².                                                                                   ①

又由y轴截圆得弦长为2，

∴r²=a²＋1.                                                                                ②

由①、②知2b²－a²＝1.又圆心到l:x－2y=0的距离d=，

∴5d²=(a－2b)²=a²＋4b²－4ab≥a²＋4b²－2(a²＋b²)=2b²－a²=1.当且仅当a=b时“=”号  成立.

∴当a=b时，d最小为.由得或

由①得r=.

∴(x－1)²＋(y－1)²=2或(x＋1)²＋(y＋1)²=2为所求.