Question

设圆满足:

①截y轴所得弦长为2;

②被x轴分成两段圆弧,其弧长的比为3∶1.

在满足条件①②的所有圆中,求圆心到直线l:x-2y=0的距离最小的圆的方程.

Answer 1

思路分析:可设所求圆的标准方程为(x-a)²+(y-b)²=r²,它有三个待定系数a、b、r.将条件②等价转化为所截圆弧所对的圆心角的度数为90°,进而可求出r与b的关系.将条件①等价转化为r与a的关系.最后利用算术平均值不等式或方程有实数解的条件:判别式不小于0等方法求出a、b、r.

解法一:设圆的圆心坐标为P(a,b),半径为r,

则点P到x轴、y轴的距离分别为|b|、|a|.

由题设知圆P截x轴所得劣弧的圆心角为90°,

于是圆P截x轴所得弦长为r,

故r²=2b².

又圆P截y轴所得的弦长为2,

所以有r²=a²+1,

从而得2b²-a²=1.

点P(a,b)到直线x-2y=0的距离为d=.

所以5d²=|a-2b|²=a²+4b²-4ab=2a²+2b²-4ab+1=2(a-b)²+1≥1,

当且仅当a=b时,上式取等号,

此时5d²=1,从而d取得最小值.

由此有

解此方程组得

由r²=2b²,知r²=2.

故所求圆的方程是(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2.

解法二:同解法一得d=,

故a-2b=±d.

于是a²=4b²±bd+5d²,①

将a²=2b²-1代入①式,

整理得2b²±db+5d²+1=0.②

把它看作关于b的一元二次方程,由于方程有实根,

故判别式非负,

于是Δ=8(5d²-1)≥0,

解得5d²≥1.

所以5d²有最小值1,从而d有最小值.

将其代入②式得2b²±4b+2=0,

解得b=±1.

将b=±1代入r²=2b²,得r²=2.

又由r²=a²+1,得a=±1.

综上,解得a=±1,b=±1,r²=2.

由|a-2b|=1,知a、b同号.

于是,所求圆的方程是(x-1)²+(y-1)²=2或(x+1)²+(y+1)²=2.

  绿色通道:解题的过程就是实现条件向结论转化的过程.对于直线与圆,需要综合平面几何、解析几何、代数知识,将条件转化成熟悉的形式,以便用常规的解题思路求解.