题目内容

已知F₁，F₂是椭圆 $数学公式$ 的两个焦点，O为坐标原点，点P（-1， $数学公式$ ）在椭圆上，且 $数学公式$ ．
（1）求椭圆M的方程；
（2）⊙O是以F₁F₂为直径的圆，直线l：y=kx+m与⊙O相切，并且与椭圆交于不同的两点A，B当 $数学公式$ ，且满足 $数学公式$ 时，求弦长|AB|的取值范围．

解：（1）依题意，可知PF₁⊥F₁F₂，
∴c=1， $\text{[math]}$ ，解得a²=2，b²=1，c²=1
∴椭圆的方程为 $\text{[math]}$
（2）直线l：y=kx+m与⊙O：x²+y²=1相切，则m²=k²+1，
由 $\text{[math]}$ ，得（1+2k²）x²+4kmx+2m²-2=0，
∵直线l与椭圆交于不同的两点A，B
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∴ $\text{[math]}$

∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²= $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
∴∴ $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$
设 $\text{[math]}$ ，则 $\text{[math]}$
∴ $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据点P（-1， $\text{[math]}$ ）在椭圆上，且 $\text{[math]}$ ，可建立方程，从而可求椭圆M的方程；
（2）利用直线l：y=kx+m与⊙O：x²+y²=1相切，可得m²=k²+1，进而将直线与椭圆方程联立，可表示弦长，利用 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，可确定其范围．
点评：本题以椭圆为载体，考查椭圆的标准方程，考查直线与圆，与椭圆的位置关系，考查弦长的求解，有较强的综合性．