Question

15．椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0．b＞0）上任意一点M（非短轴的端点）与短轴的两个端点 B₁、B₂的连线交x轴于N和K，求证：|ON|•|OK|为定值．

Answer 1

分析 设M（x₀，y₀），代入椭圆方程可得$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，变形为${b}^{2}{x}_{0}^{2}$=${a}^{2}（{b}^{2}-{y}_{0}^{2}）$．直线B₁N的方程为：$y=\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}x+b$，可得N．同理可得K．即可证明．

解答 证明：设M（x₀，y₀），则$\frac{{x}_{0}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}_{0}^{2}}{{b}^{2}}=1$，化为${b}^{2}{x}_{0}^{2}$=${a}^{2}（{b}^{2}-{y}_{0}^{2}）$．
直线B₁N的方程为：$y=\frac{{y}_{0}-b}{{x}_{0}}x+b$，可得N$（\frac{b{x}_{0}}{b-{y}_{0}}，0）$．
直线B₂K的方程为：$y=\frac{{y}_{0}+b}{{x}_{0}}x-b$，可得K$（\frac{b{x}_{0}}{{y}_{0}+b}，0）$．
∴|ON|•|OK|=$\frac{b{x}_{0}}{b-{y}_{0}}$$•\frac{b{x}_{0}}{{y}_{0}+b}$=$\frac{{b}^{2}{x}_{0}^{2}}{{b}^{2}-{y}_{0}^{2}}$=$\frac{{a}^{2}（{b}^{2}-{y}_{0}^{2}）}{{b}^{2}-{y}_{0}^{2}}$=a²，为定值．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．