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已知椭圆长轴长|A1A2|=6，焦距|F1F2|=4，过椭圆焦点F1作一直线时，交椭圆于两点M、N，设MN的倾斜角为α，当α取什么值时，|MN|等于椭圆短轴长？

解：如图所示,以椭圆的长轴A1A2所在直线为x轴,椭圆中心为原点建立直角坐标系,依题意2a=6,a=3,2c=4,c=2.

∴b==1,∴椭圆方程为+y2=1,e==.

设M（x1,y1）,N（x2,y2）,由椭圆的焦半径公式知:

｜MF1｜=a+ex1=3+x1,｜NF1｜=a+ex2=3+x2.?

∴｜MN｜=｜MF1｜+｜NF1｜=6+（x1+x2）.?

又直线MN的方程为y=（x+2）tan α（α≠）,将其代入椭圆方程,整理,得:

（1+9tan2α）x2+36xtan2α+72tan2α-9=0.?

∴x1+x2=.又｜MN｜=2,

∴6+（x1+x2）=2,?

∴6＋（）=2,?

解得tan2α=,?

∴tanα=±.?

∵0≤α＜π且α≠,?

∴α=或π,即当α=或α=时,｜MN｜等于椭圆的短轴长.

练习册系列答案
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已知椭圆C的离心率e=
3
2
，长轴的左右端点分别为A1（-2，0），A2（2，0）．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设直线x=my+1与椭圆C交于P，Q两点，直线A1P与A2Q交于点S，试问：当m变化时，点S是否恒在一条定直线上？若是，请写出这条直线方程，并证明你的结论；若不是，请说明理由．
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1（a＞b＞0）的离心率e=
3
2
，椭圆C的上、下顶点分别为A1，A2，左、右顶点分别为B1，B2，左、右焦点分别为F1，F2．原点到直线A2B2的距离为
2
5
5
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）过原点且斜率为
1
2
的直线l，与椭圆交于E，F点，试判断∠EF2F是锐角、直角还是钝角，并写出理由；
（3）P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2，分别交x轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．
（2011•浦东新区三模）已知椭圆C的长轴长是焦距的两倍，其左、右焦点依次为F1、F2，抛物线M：y2=4mx（m＞0）的准线与x轴交于F1，椭圆C与抛物线M的一个交点为P．
（1）当m=1时，求椭圆C的方程；
（2）在（1）的条件下，直线l过焦点F2，与抛物线M交于A、B两点，若弦长|AB|等于△PF1F2的周长，求直线l的方程；
（3）由抛物线弧y2=4mx(0≤x≤
2m
3
)和椭圆弧
x2
4m2
+
y2
3m2
=1(
2m
3
≤x≤2m)
（m＞0）合成的曲线叫“抛椭圆”，是否存在以原点O为直角顶点，另两个顶点A1、A2落在“抛椭圆”上的等腰直角三角形OA1A2，若存在，求出两直角边所在直线的斜率；若不存在，说明理由．
（2012•江门一模）已知椭圆C的中心在原点，长轴在x轴上，经过点A（0，1），离心率e=
2
2
．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设直线ln：y=
1
n+1
（n∈N*）与椭圆C在第一象限内相交于点An（xn，yn），记an=
1
2
x
 
2
n
，试证明：对?n∈N*，a1•a2•…•an＞
1
2
．

已知椭圆:的一个焦点为且过点.

（Ⅰ）求椭圆E的方程；

（Ⅱ）设椭圆E的上下顶点分别为A1，A2，P是椭圆上异于A1，A2的任一点，直线PA1，PA2分别交轴于点N，M，若直线OT与过点M，N的圆G相切，切点为T．

证明：线段OT的长为定值，并求出该定值．

 

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