Question

20．已知函数f（x）=（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+m）x，且f（x）为偶函数；
（1）求实数m的值；
（2）求该函数f（x）的定义域；
（3）证明：f（x）＞0．

Answer 1

分析 （1）利用偶函数的定义，即可求实数m的值；
（2）利用分母不为0，求该函数f（x）的定义域；
（3）x＞0时，f（x）＞0，f（x）为偶函数，x＜0时，f（x）＞0，即可证明证明：f（x）＞0．

解答 （1）解：∵f（x）=（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+m）x，且f（x）为偶函数，
∴f（-x）=f（x），即（$\frac{1}{{3}^{-x}-1}$+m）（-x）=（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+m）x，
∴m=$\frac{1}{2}$；
（2）解：∵f（x）=（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x，
∴3^x-1≠0，
∴x≠0，
∴函数f（x）的定义域为{x|x≠0}；
（3）证明：x＞0时，3^x-1＞0，∴f（x）=（$\frac{1}{{3}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x＞0
∵f（x）为偶函数，∴x＜0时，f（x）＞0．
∴f（x）＞0．

点评 本题考查偶函数的性质，考查函数的定义域，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．