Question

甲、乙两同学进行下棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分（无平局），比赛进行到有一个人比对方多2分或比满8局时停止，设甲在每局中获胜的概率为p(p＞

1

2

)，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为

5

8

．
（I）如图为统计这次比赛的局数n和甲、乙的总得分S，T的程序框图．其中如果甲获胜，输人a=l．b=0；如果乙获胜，则输人a=0，b=1．请问在①②两个判断框中应分别填写什么条件？
（Ⅱ）求p的值；
（Ⅲ）设ξ表示比赛停止时已比赛的局数，求随机变量ξ的分布列和Eξ．

Answer 1

分析：（Ⅰ）程序框图中的①应填M=2，②应填n=8．（注意：答案不唯一．）
（Ⅱ）依题意得，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止．所以p2+(1-p)2=

5

8

，由此能求出p的值．
（Ⅲ）依题意得，ξ的可能值为2，4，6，8．分别求出P（ξ=2），P（ξ=4），P（ξ=6），P（ξ=8），由此能求出随机变量ξ的分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）程序框图中的①应填M=2，②应填n=8．（注意：答案不唯一．）…（2分）
（Ⅱ）依题意得，当甲连胜2局或乙连胜2局时，第二局比赛结束时比赛停止．
所以p2+(1-p)2=

5

8

，
解得：p=

3

4

或p=

1

4

，
因为p＞

1

2

，所以p=

3

4

．…（6分）
（Ⅲ）依题意得，ξ的可能值为2，4，6，8．
P(ξ=2)=

5

8

，
P(ξ=4)=(1-

5

8

)×

5

8

=

15

64

，
P(ξ=6)=(1-

5

8

)(1-

5

8

)×

5

8

=

45

512

，
P(ξ=8)=(1-

5

8

)(1-

5

8

)(1-

5

8

)×1=

27

512

．
所以随机变量ξ的分布列为

ξ	2	4	6	8
P	5 8	15 64	45 512	27 512

故Eξ=2×

5

8

+4×

15

64

+6×

45

512

+8×

27

512

=

803

256

．…（12分）

点评：本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望，是中档题．解题时要认真审题，仔细解答，注意概率知识的合理运用．