Question

椭圆E的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，离心率为.点P(1，)、A、B在椭圆E上，且＋＝m(m∈R)．
(1)求椭圆E的方程及直线AB的斜率；
(2)求证：当△PAB的面积取得最大值时，原点O是△PAB的重心．

Answer 1

解：（1）由=及解得a²=4，b²=3，
椭圆方程为；…………………………………………………………2分
设A（x₁,y₁）、B（x₂,y₂），由得
（x₁+x₂-2，y₁+y₂-3）=m（1，），即 
又，，两式相减得
;………………………6分
（2）设AB的方程为y=，代入椭圆方程得：x²-tx+t²-3=0，
△=3(4-t²)，|AB|=，
点P到直线AB的距离为d=，
S_△PAB     == （-2<t<2）.……………….10分
令f(t) =3(2-t)³(2+t)，则f’(t)=-12(2-t)²(t+1)，由f’(t)=0得t=-1或2（舍），
当-2<t<-1时，f’(t)>0，当-1<t<2时f’(t)<0，所以当t=-1时，f(t)有最大值81，
即△PAB的面积的最大值是；                
根据韦达定理得x₁+x₂=t=-1，而x₁+x₂=2+m，所以2+m=-1，得m=-3，
于是x₁+x₂+1=3+m=0，y₁+y₂+=3++=0，
因此△PAB的重心坐标为(0，0)．……………………………………………………13分

略