Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点、在轴上，离心率为，在椭圆上有一动点与、的距离之和为4，

(Ⅰ) 求椭圆E的方程；

(Ⅱ) 过、作一个平行四边形，使顶点、、、都在椭圆上，如图所示.判断四边形能否为菱形，并说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 不能是菱形

【解析】试题分析：（1）由椭圆离心率为，在椭圆E上有一动点A与F1、F2的距离之和为4，列出方程组，求出a=2，b=，由此能求出椭圆E的方程．（2）由F1（﹣1，0），令直线AB的方程为x=my﹣1，联立方程组，得（3m2+4）y2﹣6my﹣9=0，由此利用韦达定理、直线垂直的性质，结合已知条件能求出四边形ABCD不能是菱形．

解析：

（Ⅰ）由条件得所以

∴椭圆E的方程是

（Ⅱ）因为，如图，直线不能平行于轴，所以令直线的方程

为， ，

联立方程， ，

得，

∴， .

若是菱形，则，

即，

于是有，

又 ，

所以有，

得到 ，

显然这个方程没有实数解，故不能是菱形.