题目内容

（22）已知函数且存在使

（I）证明：是R上的单调增函数；

（II）设

其中　

证明：

（III）证明：

解：(1)∵f′(x)=3x2－2x+=3(x－)2+＞0,    ∴f(x)是R上的单调增函数.

（Ⅱ）∵0＜x0＜,  即  x1＜x0＜y1.   又f(x)是增函数.  ∴f(x1)＜f(x0)＜f(y1),

即x2＜x0＜y2,  又   x2=f(x1)=f(0)= ＞0=x1,y2=f(y1)=f()=＜=y1.

综上，x1＜x2＜x0＜y2＜y1.

用数学归纳法证明如下：（1）当n=1时，上面已证明成立.

(2)假设当n=k  (k≥1)时有  xk＜xk+1＜x2＜yk+1＜y2.

当n=k+1时，由f(x)是单调增函数，有f(xk)＜f(xk+1)＜f(x0)＜f(yk+1)＜f(yk)，

∴xk+1＜xk+2＜x0＜yk+2＜yk+1.


练习册系列答案
相关题目
给出以下五个命题，其中所有正确命题的序号为
①③
①③

①函数f(x)=
x2-2x
+2
x2-5x+4
的最小值为l+2
2
；
②已知函数f （x）=|x2-2|，若f （a）=f （b），且0＜a＜b，则动点P（a，b）到直线4x+3y-15=0的距离的最小值为1；
③命题“函数f（x）=xsinx+1，当x1，x2∈[-
π
2
，
π
2
]，且|x1|＞|x2|时，有f （x1）＞f（x2）”是真命题；
④“a=
∫
1
0
1-x2
dx”是函数“y=cos2（ax）-sin2（ax）的最小正周期为4”的充要条件；
⑤已知等差数列{an}的前n项和为Sn，
OA
，
OB
为不共线向量，又
OP
=a
OA
+a2012
OB
，若
PA
=λ
PB
，则S2012=2013．

（本题满分15分）已知函数  且导数.

  （Ⅰ）试用含有的式子表示，并求单调区间;  （II）对于函数图象上的不同两点，如果在函数图象上存在点（其中）使得点处的切线，则称存在“伴侣切线”.特别地，当时，又称存在“中值伴侣切线”.试问：在函数上是否存在两点、使得它存在“中值伴侣切线”，若存在，求出、的坐标，若不存在，说明理由.

(本小题满分16分) 
已知函数且（1）求的单调区间；
（2）若函数与函数在时有相同的值域，求的值；
（3）设，函数，若对于任意，总存在，使得 成立，求的取值范围。

（本题满分14分）

已知函数且存在使

（I）证明：是R上的单调增函数；

（II）设其中　

     证明：

（III）证明：

 

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