Question

学校文娱队中的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有5人，会跳舞的有7人，现从中随机选出3人．记X为选出的3人中既会唱歌又会跳舞的人数，且P（X≥1）=．
（Ⅰ）求学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数；
（Ⅱ）求选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞的概率．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）设学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数为n，则文娱队共有12-n个人，其中只会唱歌或只会跳舞一项的人数为12-2n人． 由 ，可得 ，即 ，再由12-2n≥3，且n是整数，求得n的值．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知学校文娱队的人数为10人，其中只会唱歌的有3人，只会跳舞的有5人，既会唱歌又会跳舞的有2人，设“选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞”为事件A，
根据，运算求得结果．
解答：解：（Ⅰ）设学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的人数为n，则文娱队共有12-n个人，其中只会唱歌或只会跳舞一项的人数为12-2n人．  …（2分）
由 ，得 ，所以 ．    …（4分）
所以 ，…（6分）
即 ．
注意到12-2n≥3，且n是整数，从而n=0，1，2，3，4．
将n的这5个值代入上式检验，得n=2符合题意，所以学校文娱队中既会唱歌又会跳舞的有2人．   …（8分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知学校文娱队的人数为10人，其中只会唱歌的有3人，只会跳舞的有5人，既会唱歌又会跳舞的有2人．     …（9分）
设“选出的3人中1人会唱歌2人会跳舞”为事件A，…（10分）
所以，． …（13分）
点评：本题主要考查等可能事件的概率，所求的事件的概率与它的对立事件的概率之间的关系，体现了分类讨论的数学思想，属于中档题．