Question

【题目】已知圆,满足： ①截 y 轴所得弦长为； ②被轴分成两段圆弧，其弧长的比为.

（1）求在满足条件①②的所有圆中，使代数式 取得最小值时，圆的方程；

（2）在（1）中， 是圆上的任意一点，求的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）或；（2）.

【解析】

试题分析：（1）画出图象，圆心坐标为，半径为，则点到轴，轴的距离分别为.利用圆的弦长公式和半径、结合配方法建立方程，进而求出圆心和半径；（2）表示的是圆上的点和点直线连线斜率的取值范围，注意，结合图象可知，斜率的取值范围是.

试题解析：

（1）如图所示，圆心坐标为 , 半径为，则点到轴，轴的距离分别为.

圆被轴分成两段圆弧，其弧长的比为，，取的中点，连接，则有，取圆截轴的弦的中点，连接圆截轴所得弦长为，，即.则，

当时，取得最小值，此时，或.对应的圆为：,或.

（2）因为由（1）知，在一段圆弧上，该圆弧端坐标点为和， 表示与连线的斜率，其范围是，即是.