Question

如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，平面A₁BC⊥侧面A₁ABB₁，
（Ⅰ）求证：AB⊥BC；
（Ⅱ）若AA₁=AC=a，直线AC与平面A₁BC所成的角为θ，二面角A₁-BC-A的大小为ψ，求证θ+ψ=。

Answer 1

证明：(Ⅰ)如图，过点A在平面A1ABB1内作AD⊥A1B于D， 则由平面A1BC⊥侧面A1ABB1，且平面A1BC∩侧面A1ABB1=A1B， 得AD⊥平面A1BC， 又BC平面A1BC，所以AD⊥BC， 因为三棱柱ABC-A1B1C1是直三棱柱， 则AA1⊥底面ABC，所以AA1⊥BC， 又AA1∩AD=A， 从而BC⊥侧面A1ABB1， 又AB侧面A1ABB1， 故AB⊥BC。 (Ⅱ)连接CD，则由(Ⅰ)知∠ACD就是直线AC与平面A1BC所成的角， ∠ABA1就是二面角A1-BC-A的夹角，即∠ACD=θ，∠ABA1=ψ， 于是在RtΔADC中，sinθ=， 在RtΔADA1中，sin∠AA1D==， ∴sinθ=sin∠AA1D，由于θ与∠AA1D都是锐角，所以θ=∠AA1D， 又由RtΔA1AB知，∠AA1D+ψ=∠AA1B+ψ=， 故θ+ψ=。