Question

已知函数f（x）=log₂x，等比数列{a_n}的首项a₁＞0，公比q=2，若f（a₂a₄a₆a₈a₁₀）=25，则2f(a1)+f(a2)+…+f(a2009)  =

2^1004×2009

．

Answer 1

分析：先根据f（a₂a₄a₆a₈a₁₀）=25以及等比数列{a_n}的首项a₁＞0，公比q=2，可求出a₁，从而求出f（a_n），再利用等差数列求和公式解之即可求出所求．

解答：解：因f（a₂a₄a₆a₈a₁₀）=f（a₆⁵）=f（a₁⁵q²⁵）=log₂（a₁⁵2²⁵）=2，
故a₁=1，a_n=2^n-1．
所以f（a_n）=n-1，2f(a1)+f(a2)+…+f(a2009)  =2^{0+1+2+…+2008}=2^1004×2009．
故答案为：2^1004×2009．

点评：本题主要考查了数列与函数的综合，同时考查了等差数列求和，属于中档题．