Question

（2012•金华模拟）已知等差数列{a_n}中，首项a₁＞0，公差d＞0．
（1）若a₁=1，d=2，且

1

a12

，

1

a42

，

1

am2

成等比数列，求整数m的值；
（2）求证：对任意正整数n，

1

an2

，

1

an+12

，

1

an+22

都不成等差数列．

Answer 1

分析：（1）根据a₁=1，d=2，可得a₄=7，a_m=2m-1，利用

1

a12

，

1

a42

，

1

am2

成等比数列，可得

1

492

=

1

(2m-1)2

，从而可求m的值；
（2）根据{a_n}是等差数列，可得a_n+a_n+2=2a_n+1，再证明

1

an2

+

1

an+22

＞

2

an+12

，即可得到结论．

解答：（1）解：∵a₁=1，d=2，∴a₄=7，a_m=2m-1，
∴

1

a12

，

1

a42

，

1

am2

成等比数列，
∴

1

492

=

1

(2m-1)2

，
∴2m-1=49，
∴m=25；
（2）证明：∵{a_n}是等差数列，
∴a_n+a_n+2=2a_n+1
∴

1

an2

+

1

an+22

＞

( 1 an + 1 an+2 )2

2

=

2an+12

an2an+22

＞

2an+12

( an+an+2 2 )2

=

2

an+12

∴对任意正整数n，

1

an2

，

1

an+12

，

1

an+22

都不成等差数列．

点评：本题考查等差数列与等比数列的综合，考查等比数列的性质，考查基本不等式的运用，属于中档题．