Question

是否存在常数a，b，c使等式1·(n²－1²)+2(n²－2²)+…+n(n²－n²)=an⁴+bn²+c对一切自然数n成立?证明你的结论。

 

Answer 1

答案：
解析：

分别用n=1，2，3代入解方程组：     下面用数学归纳法证明：     (1)当n=1时，由上可知等式成立；     (2)假设当n=k时等式成立， 则当n=k+1时 左=1·[(k+1)2－12]+2[(k+1)2－22]+…+k[(k+1)2－k2]+(k+1)[(k+1)2－(k+1)2] =1·(k2－12)+2(k2－22)+…+k(k2－k2)+1·(2k+1)+2(2k+1)+…+k(2k+1) = 由（1）、（2）得等式对一切的n∈N均成立。