Question

过椭圆内的点P（1，2）作两条互相垂直的弦AB，CD，若弦AB，CD的中点分别为M，N，则直线MN恒过定点，定点的坐标为    ．

Answer 1

【答案】分析：设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），直线AB的方程为y-2=k（x-1），将其与椭圆消去y化简得（9+16k²）x²-32k（k-2）x+16（k-2）²-144=0，运用根与系数的关系算出M（，），同样理得出N（，），从而得到直线MN关于k为参数的两点式方程．分别取k=1和k=-1，得到动直线MN的两个位置，记为l₁、l₂，因为直线MN恒过定点，所以l₁与l₂的交点即为MN恒过的定点，由此联解直线l₁与l₂的方程组即可得到经过的定点坐标．
解答：解：设直线AB的方程为y-2=k（x-1），与椭圆消去y得
（9+16k²）x²-32k（k-2）x+16（k-2）²-144=0
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中点为M（x_M，y_M）
∴x₁+x₂=，可得x_M=（x₁+x₂）=
代入直线AB方程，得y_M=
∴AB中点为M（，）
∵直线AB、CD互相垂直，∴用-代替k，得CD中点为N（，）
因此，直线MN方程为
取k=1，得直线方程，记为l₁； 再k=-1，得直线方程，记为l₂．
∵随着直线AB、CD运动，直线MN恒过定点
∴直线l₁与l₂的交点即为MN恒过的定点，联解，得
因此，直线MN恒过定点（ ）
故答案为：（ ）
点评：本题给出椭圆经过定点（1，2）的两条垂直的弦AB、CD，求由AB、CD中点确定的直线MN经过的定点坐标．着重考查了椭圆的标准方程与简单几何性质、直线与圆锥曲线的位置关系等知识，属于中档题．