Question

在平面直角坐标系中，角α，β的始边为x轴的非负半轴，点P（1，2cos²θ）在角α的终边上，点Q（sin²θ，-1）在角β的终边上，且

OP

•

OQ

=-1．
（1）求cos2θ；    
（2）求P，Q的坐标并求cos（α-β）的值．

Answer 1

（1）∵点P（1，2cos²θ），点Q（sin²θ，-1），
∴

OP

=(1，2cos2θ)，

OQ

=(sin2θ，-1)．
∵

OP

•

OQ

=-1，∴sin²θ-2cos²θ=-1．
∴

1-cos2θ

2

-(1+cos2θ)=-1，
解得cos2θ=

1

3

．
（2）由（1）得：2cos²θ=1+cos2θ=

4

3

，∴P(1，

4

3

)．
sin2θ=

1-cos2θ

2

=

1

3

，∴Q(

1

3

，-1)．
∴|OP|=

12+( 4 3 )2

=

5

3

，|OQ|=

( 1 3 )2+1

=

10

3

．
∴sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
sinβ=-

3 10

10

，cosβ=

10

10

．
∴

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ= -9 10 50

．