题目内容

设定义在R上的函数f(x)＝a0x4＋a1x4＋a1x3＋a2x＋a3(a0，a1，a2，a3∈R)，当x＝－1时，f(x)取极大值，且函数y＝f(x)的图象关于点(0，0)对称．

(Ⅰ)求f(x)的表达式；

(Ⅱ)试在函数y＝f(x)的图象上求两点，使以这两点为切点的切线互相垂直，且切点的横坐标都在上；

(Ⅲ)设，求证：．

答案：
解析：

　　解：由f(x)的图象关于点(0，0)对称，即f(x)是奇函数，所以

　　由题意，得所以．

　　可以检验f(x)满足题意：当x＝－1时，f(x)取极大值．

　　所以，所求　4分

　　(Ⅱ)设所求两点为(x1，f(x1))，(x2，f(x2))x1，x2∈[，得因为，所以或即或从而可得所求两点的坐标为：

　　(0，0)，或者(0，0)，　8分

　　(Ⅲ)，当时，即在上递减，得，即．，用导数可求得，即，

　　所以　12分


练习册系列答案
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设定义在R上的函数f（x）=
1
x-2
(x＞2)
1
2-x
(x＜2)
1(x=2)
，若关于x的方程f2（x）+af（x）+b=3有且只有3个不同实数解x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则x12+x22+x32=
 
．
设定义在R上的函数f（x）满足f（x）•f（x+2）=3，若f（1）=2，则f（5）=
2
2
；f（2011）=
3
2
3
2
．
（2013•顺义区二模）设定义在R上的函数f（x）是最小正周期为2π的偶函数，f′（x）是f（x）的导函数．当x∈[0，π]时，0＜f（x）＜1；当x∈（0，π）且x≠
π
2
时，(x-
π
2
)f′(x)＜0．则函数y=f（x）-cosx在[-3π，3π]上的零点个数为
6
6
．
设定义在R上的函数f（x）满足f（x+π）=f（x-π），f（
π
2
-x）=f（
π
2
+x），当x∈[-
π
2
，
π
2
]时，0＜f（x）＜1；当x∈(-
π
2
，
π
2
)且x≠0时，x•f′（x）＜0，则y=f（x）与y=cosx的图象在[-2π，2π]上的交点个数是（　　）
设定义在R上的函数f（x）同时满足以下条件：①f（x+1）=-f（x）对任意的x都成立；②当x∈[0，1]时，f（x）=ex-e•cos
πx
2
+m（其中e=2.71828…是自然对数的底数，m是常数）．记f（x）在区间[2013，2016]上的零点个数为n，则（　　）
A、m=-
1
2
，n=6
B、m=1-e，n=5
C、m=-
1
2
，n=3
D、m=e-1，n=4

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