Question

设定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足；对任意a，b∈（0，+∞），都有f（b）=f（a）-f（），且当x＞1时，f（x）＞0．
（1）求f（1）的值；
（2）判断并证明函数f（x）的单调性；
（3）如果f（3）=1，解不等式f（x）-f（）＞2．

Answer 1

【答案】分析：（1）令a=b=1，得f（1）=f（1）-f（1）=0，即可求出f（1）；
（2）设x₁，x₂∈（0，+∞），设x₁＜x₂，，由已知得出f（x₂）-f（x₁）=f（），且能得出f（）＞0，确定出f（x₁）＜f（x₂）后即可判断出函数f（x）在R上单调性．
 （3）由（2），不等式化为f（x（x-8））＞f（9），即，利用解不等式的方法得出x的取值范围．
解答：解：（1）取a=b=1，得f（1）=f（1）-f（1）=0，所以f（1）=0．
（2）函数在（0，+∞）上是单调增函数．
任取x₁，x₂∈（0，+∞），设x₁＜x₂，则f（x₂）-f（x₁）=f（），因为0＜x₁＜x₂，所以＞1，又当x＞1时，有f（x）＞0，所以f（x₂）-f（x₁）=f（）＞0，即f（x₂）＞f（x₁）．所以f（x）在（0，+∞）上是单调增函数．
（3）若f（3）=1，则2=1+1=f（3）+f（3）=f（9），f（x）-f（）=f（x（x-8）），则不等式f（x）-f（）＞2可以化为f（x（x-8））＞f（9），即，解得x＞9．即不等式的解集为（9，+∞）．
点评：本题考查抽象函数求函数值、单调性的判定、及单调性的应用，考查转化、分离参数的思想方法．牢牢把握所给的关系式，对式子中的字母准确灵活的赋值，变形构造是解决抽象函数问题常用的思路．