Question

设函数f_n（θ）=sinⁿθ+（-1）ⁿcosⁿθ，0≤θ≤π，其中n≥3，n∈N．
（1）确定函数f₃（θ）的单调性，并证明你的结论；
（2）对于任意给定的正整数n，求函数f_n（θ）在区间[0，

π

4

]上的最大值和最小值．

Answer 1

分析：（1）当n=3时f₃（θ）=sin³θ-cos³θ，求导数得f₃'（θ）=3sinθcosθ （sinθ+cosθ）．再根据0≤θ≤π，分三个区间讨论f₃'（θ）的正负，可得函数f₃（θ）的增区间为[0，

π

2

]和[

3π

4

，π]，减区间为 [

π

2

，

3π

4

]．
（2）利用函数单调性的定义，证出：当n为不小于3的奇数时，f_n（θ）在[0，

π

4

]上为单调递增函数，从而得到此时函数f_n（θ）的最大值为0，最小值为-1．当n为偶数时利用导数研究函数f_n（θ）的单调性，可得此时在区间[0，

π

4

]上f_n（θ）为减函数，得f_n（θ）的最大值为1，最小值为2(

2

2

)n．再加以综合即得本题的答案．

解答：解：（1）∵函数f₃（θ）=sin³θ-cos³θ，
∴f₃'（θ）=3sin²θcosθ+3cos²θsinθ=3sinθcosθ （sinθ+cosθ）．
∵在 [0，

π

2

]上，f₃′（θ）≥0；在[

π

2

，

3π

4

]上，3sinθcosθ≤0，sinθ+cosθ≥0，故f₃′（θ）≤0；
在[

3π

4

，π]上，3sinθcosθ≤0，sinθ+cosθ≤0，故f₃′（θ）≥0．
∴函数f₃（θ）的增区间为[0，

π

2

]和[

3π

4

，π]，减区间为 [

π

2

，

3π

4

]．
（2）由（1）的结论，得n=3时，函数f₃（θ）在[0，

π

4

]上为单调递增．
∴f₃（θ）的最大值为f₃（

π

4

）=0，最小值为f₃（0）=-1．
下面讨论正奇数n≥5的情形：对任意θ₁、θ₂∈[0，

π

4

]，且θ₁＜θ₂，
∵f_n（θ₁）-f_n（θ₂）=（sinⁿθ₁-sinⁿθ₂）+（cosⁿθ₂-cosⁿθ₁），
且0≤sinθ₁＜sinθ₂＜1，0≤cosθ₂＜cosθ₁＜1，
∴sinⁿθ₁＜sinⁿθ₂，cosⁿθ₂＜cosⁿθ₁，从而f_n（θ₁）＜f_n（θ₂）．
∴f_n（θ）在[0，

π

4

]上为单调递增函数，
则f_n（θ）的最大值为f_n（

π

4

）=0，最小值为f_n（0）=-1．
因此，当n为奇数时，函数f_n（θ）的最大值为0，最小值为-1．
当n为偶数时，f_n（θ）=sinⁿθ+（-1）ⁿcosⁿθ=sinⁿθ+cosⁿθ，
∴[f_n（θ）]'=nsin^n-1θ•cosθ-ncos^n-1θsinθ=nsinθcosθ（sin^n-2θ-cos^n-2θ），
∵θ∈[0，

π

4

]，可得0≤sinθ≤cosθ＜1，
∴sin^n-2θ≤cos^n-2θ，得sin^n-2θ-cos^n-2θ≤0，
因此[f_n（θ）]'=nsinθcosθ（sin^n-2θ-cos^n-2θ）≤0，
可得n为偶数时，f_n（θ）=sinⁿθ+（-1）ⁿcosⁿθ在区间[0，

π

4

]上为减函数，
可得函数f_n（θ）的最大值为f（0）=0，
最小值为f（

π

4

）=（sin

π

4

）ⁿ+（cos

π

4

）ⁿ=2(

2

2

)n．
综上所述，当n为奇数时，f_n（x）_min=-1，f_n（x）_max=0；
当n为偶数时，fn(x)min=2(

2

2

)n，fn(x)max=1．

点评：本题考查了三角函数的最值，函数单调性的判定以及同角三角函数的基本关系，考查了根据单调性的定义判断函数的单调性和利用导数研究函数单调性，属于中档题．