Question

已知数列{a_n}，{b_n}满足a1=

1

2

，b2=-

1

2

，且对任意m，n∈N^*，有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）求数列{a_nb_n}的前n项和T_n；
（3）若数列{c_n}满足bn=

4cn+n

3cn+n

，试求{c_n}的通项公式并判断：是否存在正整数M，使得对任意n∈N^*，c_n≤c_M恒成立．

Answer 1

（1）由已知，对任意m，n∈N^*，
有a_m+n=a_m•a_n，b_m+n=b_m+b_n．
取m=1，得an+1=a1an=

1

2

an，bn+1=b1+bn=-

1

2

+bn．
所以数列{a_n}，{b_n}分别为等比，等差数列．
∴an=

1

2

•(

1

2

)n-1=(

1

2

)n
bn=-

1

2

+(n-1)(-

1

2

)=-

n

2

…（4分）
（2）Tn=(-

1

2

)(

1

2

)1+(-

2

2

)(

1

2

)2+(-

3

2

)(

1

2

)3+…+(-

n

2

)(

1

2

)n

1

2

Tn=(-

1

2

)• (

1

2

) 2+(- 

2

2

)•(

1

2

)3+…+(-

n

2

)•(

1

2

)n+1
两式相减，

1

2

Tn=-

1

22

-

1

2

[(

1

2

)2+(

1

2

)3+…+(

1

2

)n]+

n

2

•(

1

2

)n+1
并化简得Tn=n×(

1

2

)n+1+(

1

2

)n-1．…（8分）
（3）由bn=

4cn+n

3cn+n

，
得cn=-

n2+2n

3n+8

．…（10分）
∵cn+1-cn=-

3n2+19n+24

(3n+8)(3n+11)

＜0．
∴数列{c_n}为递减数列，c_n的最大值为c₁．
故存在M=1，使得对任意n∈N^*，c_n≤c₁恒成立…