Question

（08年长沙一中一模文）已知二次函数，不等式的解集有且只有一个元素；设数列的前项和。

       （1）求数列的通项公式；

       （2）设，求数列的前项和；

       （3）设各项均不为零的数列中，所有满足的正整数的个数称为这个数列的变号数。另为正整数），求数列的变号数。

Answer 1

解析：（1）的解集有且只有一个元素

       或。

       又由得，

       当时，；

       当时，

                     （4分）

       （2）   ①

                     ②

       ①－②得：

      

             

             （9分）

       （3）解法一：由题设

       时，

       时，数列递增

       ，由，可知

       即时，有且只有1个变号数

       又，即此处变号数有2个

       综上得，数列共有3个变号数，即变号数为3     （13分）

       解法二：由题设

       时，令

       或或

       又即

       综上得，数列共有3个变号数，即变号数为3        （13分）