Question

（08年长沙一中一模文）如图，平面，，为中点，

       。

       （1）求证：平面；

       （2）求异面直线与所成角的余弦值；

       （3）求点到平面的距离。

 

 

Answer 1

解析： 解法一：（1）因为平面ABC，平面，所以（2分）

       中，，且为中点，所以。

       又，所以平面（4分）

       （2）如图，

取中点E，连结、，则，

       所以（或其补角）为异面直线与所成的角。（5分）

       因为，所以；

       又平面，平面，所以，

       因为，所以平面，

       因为平面，所以（6分）

       在中，因为，所以，

       在中，因为，

       所以。

       在中，因为。所以。

       即异面直线与所成的角的余弦值为。（8分）

       （3）如图，过作交于，

       因为平面，平面，所以。

       因为，

       所以平面（10分）

       在中，。

       所以点到平面的距离是。

解法二：如图，以C为原点，分别以直线、、为、、轴建立空间直角坐标系。（1分）

 

       则

       所以中点

       （1）因为（2分）

       所以

      

       所以，又，

       所以平面。（4分）

       （2）（6分）

       所以

       即异面直线与所成的角的余弦值为（8分）

       （3）设平面的法向量，因为

       则由， 得

       取，得是平面的一个法向量（10分）

       又，

       所以点到平面的距离（12分）

解法三：（1）、（2）同解法一。

       （3）设点C到平面PAD的距离为，

       由（1）平面，

       因为，由三垂线定理，可得，

       又，

       所以，

       。（10分）

       由，得

       即，

       解得

       所以点C到平面的距离是      （12分）